Gestão De Dinheiro Através Do Critério Kelly

Gestão de Dinheiro através do Critério Kelly

Por Michael Halls-Moore em 6 de maio de 2014

Risco e gestão de dinheiro são absolutamente críticos tópicos na negociação quantitativa. Nós ainda temos que explorar esses conceitos em qualquer quantidade razoável de detalhes além de indicar as diferentes fontes de risco que podem afetar o desempenho da estratégia. Neste artigo vamos considerar um meio quantitativo de gestão da conta de capital, a fim de maximizar o crescimento da conta de longo prazo e limitar o risco de queda.

Objetivos do Investidor

Pode parecer que o único objetivo importante do investidor é simplesmente "fazer tanto dinheiro quanto possível". No entanto, a realidade do comércio a longo prazo é mais complexa. Uma vez que os participantes do mercado têm diferentes preferências de risco e restrições existem muitos objetivos que os investidores podem possuir.

Muitos comerciantes de varejo consideram que o único objetivo é aumentar o valor da conta tanto quanto possível, com pouca ou nenhuma consideração dada ao "risco" de uma estratégia. Um investidor de varejo mais sofisticado estaria medindo a baixa de contas, mas também poderia suportar uma queda no capital próprio (digamos 50%) se eles estivessem cientes de que era ótimo, no sentido de taxa de crescimento, a longo prazo.

Um investidor institucional pensaria de forma muito diferente sobre o risco. É quase certo que terão uma redução máxima obrigatória (digamos 20%) e que estariam considerando alocação do setor e limites médios diários de volume, o que seria restrições adicionais sobre o "problema de otimização" da alocação de capital para as estratégias. Esses fatores podem até ser mais importantes do que maximizar a taxa de crescimento de longo prazo da carteira.

Assim, estamos em uma situação onde podemos encontrar um equilíbrio entre maximizar a taxa de crescimento de longo prazo através de alavancagem e minimizar o nosso "risco", tentando limitar a duração ea extensão da retirada. A principal ferramenta que nos ajudará a conseguir isso é chamada de Critério Kelly.

Critério de Kelly

Dentro deste artigo, o Critério Kelly vai ser nossa ferramenta para controlar alavancagem e alocação para um conjunto de estratégias de negociação algorítmicas que compõem um portfólio de estratégias múltiplas.

Definiremos alavancagem como a relação entre o tamanho de uma carteira e o patrimônio da conta real dentro dessa carteira. Para deixar isso claro, podemos usar a analogia de comprar uma casa com uma hipoteca. Seu pagamento inicial (ou "depósito" para aqueles de nós no Reino Unido!) Constitui o patrimônio da sua conta, enquanto o pagamento e o valor da hipoteca constituem o equivalente ao tamanho de uma carteira. Assim, um adiantamento de 50.000 USD em uma casa de 200.000 USD (com uma hipoteca de 150.000 USD) constitui uma alavancagem de $ (150000 + 50000) / 50000 = 4 $. Assim, neste caso, você seria 4x alavancado em casa. Uma carteira de contas de margem se comporta da mesma forma. Há um "dinheiro" componente e, em seguida, mais ações podem ser emprestadas na margem, para fornecer a alavancagem.

Antes de declararmos especificamente o Critério de Kelly, quero esboçar as suposições que entram em sua derivação, que têm diferentes graus de precisão:

Cada estratégia de negociação algorítmica assumirá que possui um fluxo de retorno que é normalmente distribuído (isto é Gaussiano). Além disso, cada estratégia tem sua própria média fixa eo desvio padrão dos retornos. A fórmula assume que esses valores médios e padrões não mudam. Isto é, que são iguais no passado como no futuro. Este não é claramente o caso com a maioria das estratégias, portanto, estar ciente desta suposição.

Os retornos que estão sendo considerados aqui são retornos excedentes. O que significa que são líquidos de todos os custos de financiamento, tais como juros pagos sobre margem e custos de transação. Se a estratégia está sendo realizada em um ambiente institucional, isso também significa que os retornos são líquidos de taxas de administração e desempenho.

Todos os lucros de negociação são reinvestidos e nenhuma retirada de capital é realizada. É claro que isso não é aplicável em um ambiente institucional onde as taxas de administração acima mencionadas são retiradas e os investidores costumam fazer retiradas.

Todas as estratégias são estatisticamente independentes (não há correlação entre as estratégias) e, portanto, a matriz de covariância entre os retornos da estratégia é diagonal.

Estas suposições não são particularmente precisas, mas vamos considerar maneiras de relaxá-los em artigos posteriores.

Agora chegamos ao Critério de Kelly atual! Vamos imaginar que temos um conjunto de estratégias de negociação algorítmica de $ N $ e queremos determinar como aplicar a alavancagem ideal por estratégia para maximizar a taxa de crescimento (mas minimizar os levantamentos) e como alocar capital entre cada estratégia. Se denotarmos a alocação entre cada estratégia $ i $ como um vetor $ f $ de comprimento $ N $, s. t. $ F = (f_1. F_N) $, então o Critério de Kelly para alocação ótima para cada estratégia $ f_i $ é dado por:

\ Begin f_i = \ mu_i / \ sigma ^ 2_i \ end

Onde $ \ mu_i $ são os retornos de excesso médios e $ \ sigma_i $ são o desvio padrão dos retornos excedentes para uma estratégia $ i $. Esta fórmula descreve essencialmente a alavancagem ideal que deve ser aplicada a cada estratégia.

Embora o Critério de Kelly $ f_i $ nos dê a alavancagem e a alocação de estratégia ótimas, ainda precisamos realmente calcular nossa taxa de crescimento composta esperada a longo prazo da carteira, que denotamos por $ g $. A fórmula para isso é dada por:

\ Begin g = r + S ^ 2/2 \ end

Onde $ r $ é a taxa de juros livre de risco, que é a taxa a que você pode pedir emprestado ao corretor, e $ S $ é a taxa de Sharpe anualizada da estratégia. Este último é calculado através dos retornos médios anuais diferenciados divididos pelos desvios-padrão anualizados dos retornos excedentes. Consulte este artigo para obter mais detalhes.

Nota: Se você gostaria de ler uma abordagem mais matemática para a fórmula Kelly, por favor, dê uma olhada no artigo de Ed Thorp sobre o tema: O Critério Kelly em Blackjack Sports Betting, eo mercado de ações (2007).

Um exemplo realista

Vamos considerar um exemplo no caso de estratégia única ($ i = 1 $). Suponha que tenhamos um estoque mítico XYZ que tenha um retorno médio anual de $ m = 10,7 \% $ e um desvio padrão anual de $ \ sigma = 12,4 \% $. Além disso, suponha que possamos contrair empréstimos a uma taxa de juros livre de risco de $ r = 3,0 \% $. Isto implica que os retornos de excesso médios são $ \ mu = m - r = 10,7-3,0 = 7,7 \% $. Isso nos dá um Índice de Sharpe de $ S = 0,077 / 0,124 = 0,62 $.

Com isso podemos calcular a alavancagem ideal de Kelly através de $ f = \ mu / \ sigma ^ 2 = 0,077 / 0,124 ^ 2 = 5,01 $. Assim, a alavancagem da Kelly diz que, para uma carteira de 100.000 USD, devemos pedir um adicional de 401.000 USD para ter um valor total da carteira de 501.000 USD. Na prática, é improvável que nossa corretora nos permita negociar com essa margem substancial e, portanto, o Critério Kelly precisaria ser ajustado.

Podemos então usar a razão Sharpe $ S $ ea taxa de juros $ r $ para calcular $ g $, a taxa de crescimento esperada de longo prazo. $ G = r + S ^ 2/2 = 0,03 + 0,62 ^ 2/2 = 0,22 $, i. e. 22%. Assim, devemos esperar um retorno de 22% ao ano a partir desta estratégia.

Critério de Kelly na prática

É importante estar ciente de que o Critério de Kelly requer um reequilíbrio contínuo da alocação de capital para permanecer válido. Claramente isso não é possível no ajuste discreto de negociação real e, portanto, uma aproximação deve ser feita. A "regra geral" padrão aqui é atualizar a alocação de Kelly uma vez por dia. Além disso, o próprio Critério de Kelly deve ser recalculado periodicamente, usando uma média de fuga e desvio padrão com uma janela de lookback. Novamente, para uma estratégia que negocia aproximadamente uma vez por dia, este lookback deve ser definido para ser da ordem de 3-6 meses de retornos diários.

Aqui está um exemplo de reequilíbrio de um portfólio sob o Critério Kelly, que pode levar a algum comportamento contra-intuitivo. Vamos supor que temos a estratégia descrita acima. Nós usamos o critério de Kelly para pedir dinheiro emprestado para dimensionar nossa carteira a 501.000 USD. Vamos supor que fazemos um saudável retorno de 5% no dia seguinte, o que aumenta o tamanho da nossa conta para 526.050 USD. O Critério Kelly nos diz que devemos pedir mais para manter o mesmo fator de alavancagem de 5,01. Em particular, o capital da nossa conta é de 126.050 USD numa carteira de 526.050, o que significa que o actual factor de alavancagem é 4.17. Para aumentá-lo para 5.01, precisamos pedir um adicional de 105.460 USD para aumentar o tamanho da nossa conta para 631.510,5 USD (isto é $ 5.01 \ times 126050 $).

Agora considere que no dia seguinte perdemos 10% em nosso portfólio (ouch!). Isto significa que o tamanho total da carteira é agora 568.359.45 USD ($ 631510.5 \ times 0.9 $). Nosso patrimônio total da conta é agora 62,898.95 USD ($ 126050-631510.45 \ times 0.1 $). Isso significa que nosso fator de alavancagem atual é $ 568359.45 / 62898.95 = 9.03 $. Portanto, precisamos reduzir nossa conta vendendo 253.235,71 USD de ações, a fim de reduzir nosso valor total de carteira para 315.123,73 USD, de modo que possamos ter uma alavancagem de 5,01 novamente (US $ 315123,73 / 62898,95 = 5,01 $).

Daí nós compramos em um lucro e vendemos em uma perda. Este processo de venda em uma perda pode ser extremamente emocionalmente difícil, mas é matematicamente a coisa "correta" a fazer, supondo que as suposições de Kelly foram cumpridas! É a abordagem a seguir para maximizar a taxa de crescimento composta a longo prazo.

Você pode ter notado que os valores absolutos de dinheiro sendo re-alocado entre os dias eram bastante graves. Isto é uma consequência tanto da natureza artificial do exemplo como da alavancagem extensiva empregada. Perda de 10% em um dia não é particularmente comum na negociação algorítmica de alta freqüência, mas serve para mostrar como a alavancagem pode ser extensiva em termos absolutos.

Uma vez que a estimativa de médias e desvios padrão estão sempre sujeitos a incerteza, na prática muitos comerciantes tendem a usar um regime de alavancagem mais conservador, como o Critério de Kelly dividido por dois, carinhosamente conhecido como "meio-Kelly". O critério de Kelly deve realmente ser considerado como um limite superior de alavancagem para usar, ao invés de uma especificação direta. Se este conselho não é atendida, em seguida, usando o valor direto Kelly pode levar à ruína (ou seja, a conta de equidade desaparecendo a zero), devido à natureza não gaussiana da estratégia retorna.

Você deve usar o Critério Kelly?

Cada trader algorítmico é diferente e o mesmo é verdadeiro para as preferências de risco. Ao optar por empregar uma estratégia de alavancagem (do qual o Critério Kelly é um exemplo) você deve considerar os mandatos de risco que você precisa trabalhar sob. Em um ambiente de varejo você é capaz de definir seus próprios limites máximos drawdown e, portanto, sua alavancagem pode ser aumentada. Em um ambiente institucional você precisará considerar o risco de uma perspectiva muito diferente eo fator de alavancagem será um componente de um quadro muito maior, geralmente sob muitas outras restrições.

Em artigos posteriores consideraremos outras formas de gestão de dinheiro (e risco!), Algumas das quais podem ajudar com as restrições adicionais discutidas acima.

Michael Halls-Moore

Mike é o fundador da QuantStart e tem estado envolvido na indústria de finanças quantitativas nos últimos cinco anos, principalmente como desenvolvedor quantitativo e, mais tarde, como consultor de comerciantes de quant para hedge funds.